РАСТКО ВУКОВИЋ: Поезија логичних идеја

0
142
neter

Има ли жена у математици? Наравно да има. Препричаћу вам једно важно откриће једне од њих, генијалне Еме Нетер (Amalie Emmy Noether, 1882-1935), која је због теореме по њој назване већ врста иконе алгебре и физике, али чији ће значај тек расти, надам се због теорије информације којом се управо бавим.

Ема је била Немица јеврејског порекла одгајана да буде наставница енглеског и француског језика у школама за девојке, али је уместо тога отишла да студира математику на Универзитету Ерланген на којем је радио и њен отац математичар Макс Нетер. Женама је било дозвољено да буду на часовима, али само у присуству инструктора, а њени инструктори данас су надалеко познати теоретичари Давид Хилберт, Феликс Клајн, Херман Минковски и Карл Шварцшилд. Докторирала је 1907. године на алгебарским инваријантама.

Начин на који је Ема третирала те инваријанте постао је предмет дивљења прво Хилберта, Клајна и Ајнштајна, а затим и многих других способних да разумеју Нетерову математику, њој својствену „поезију логичних идеја“. Емин главни рад из 1915. године, који често називамо „најлепшом теоремом на свету“, покушаћу објаснити популарно.

У време када је физика још увек откривала закон одржања енергије – према којем је збир кинетичке и потенцијалне енергије тела константан (енергије кретања и мировања, остварене и неостварене) – Ојлер и Лагранж били су километрима испред својих савременика. Они су разматрали разлику кинетичке и потенцијалне енергије коју данас називамо „лагранжијан“.

Претпостављали су да се ова разлика у спонтаним ситуацијама временом не мења и 1750. године дошли до парцијалних диференцијалних једначина другог реда по њима названих. Лагранж је откривени „принцип најмањег дејства“ бриљантно тумачио и 1788. године поставио основе класичне механике.

Ојлер-Лагранжове једначине односе се на било каква кретања, по толико генералисаним координатама да оне дају трајекторије од најмање потрошње времена одбијене или преламане светлости између две тачке, преко њихања клатна, вибрирања опруге, па до рецимо путања најмање потрошње енергије у класичној, релативистичкој, а коначно и у квантној физици. Генералисане трајекторије су „путеви“ еволуција физичких система непромењеног лагранжијана, које називамо симетријама или инваријантама.

Када станете испред огледала и посматрате свој одраз, тада учествујете у раванској симетрији, рефлексији у односу на раван огледала. Сваки троугао са својом рефлексијом има једнаке странице, једнаку површину, мада супротну оријентацију. Рефлексија је и осна симетрија у односу на осу, дату праву или централна симетрија у односу на неку тачку.

У исту категорију „непроменљивости у оквиру трансформације“ спадају и транслације, паралелна померања фигура без нарушавања растојања између унутрашњих тачака. Већ у првим разредима средњих школа, где се уче ове тзв. изометрије, могли смо да научимо да геометрија нема много симетрија и да се свака од њих може свести на једну или две ротације.

Ема Нетер је приметила да један од два сабирка Ојлер-Лагранжове једначине представља промену лагранжијана (енергије) по генералисаној трајекторији и да та промена у случају симетрије исчезава, те да преостали, други сабирак који представља промену количине одговарајућег физичког система временом – такође ишчезава. Одлучно је закључила да присуство „непроменљивости“ значи неку симетрију, а то конзервацију одговарајуће физичке величине.

Даље је ваљда јасно зашто ће се Нетеровом теоремом одушевити и Ајнштајн који се својевремено мучио са разумевањем инваријантних кретања, инерцијалног једнолико-праволинијског и тела у слободном паду у гравитационом пољу, сматрајући да у таквим сви закони физике остају исти.  Нетерова теорема гарантује и стабилност гравитационог поља.

У квантној механици познајемо Хајзенбергове релације неодређености према којима производ неодређености енергије и трајања било каквог реалног физичког процеса, односно честице, не може бити мањи од познате константе (приближно Планкове). Аналогно важи за импулс и дужину. То на начин да за (скоро) свако унапред дато мало трајање можемо увек имати довољно велику енергију и имати физички реалан систем, а то је услов диференцијабилности поменутих једначина. Симетрије квантног света пре свега су реверзибилности свих квантних процеса, који се рефлектује око (текуће) садашњости, па то онда некако важи и за макросвет.

Укратко, када год имамо неку непроменљивост имамо и одговарајућу постојаност. На пример, вода која се окреће у чаши изгледаће нам стално исто, а то је ротациона симетрија – и имамо ротациони закон одржања (ангуларног момента). Зврк једном покренут наставиће да се окреће све док га нека сила (трење) не заустави. Тело у инерцијалном кретању не мења се и имамо добро познати закон инерције праволинијског кретања. У квантној физици, као што рекох, сви процеси (еволуције) описују се регуларним операторима, реверзибилним, што је врста симетрије, па онда и за токове информације важи закон одржања.

Искорачимо на крају мало испред Нетерове теореме и приметимо да бесконачни скупови не могу (количином) бити једнаки свом правом подскупу (делу), те да за такве не важи начело конзервације (моја теорема). Другим речима, ако за дато физичко својство важи Нетерова теорема, онда за то својство важи конзервација, а онда је оно и коначно дељиво, у математици кажемо дискретно. Зато су сви облици супстанце атомизирани, квантовани, кварковани, а физичке информације увек су дискретне.

Слободе, количине опција мерене физичком информацијом, такође су и дискретне и потрошиве. Такве су и наше оригиналности, наша открића, па према томе и развојност друштва. Када би смо законска органичења мерили аналогно исто би важило за правосудни систем, а то је доследно теорији инофрмације коју вам објашњавам. Тиме стижемо на корак од теорије игара, такође важног дела „информатике“, али о којем ћу причати касније.

Дакле, има жена у математици и њихов допринос није спорадичан. Оне су се додуше ређе појављивале али су знале јако обасјавати.

ПОСТАВИ ОДГОВОР

Унесите коментар
Унесите име