RASTKO VUKOVIĆ: Poezija logičnih ideja

zakon velikih brojeva

Ima li žena u matematici? Naravno da ima. Prepričaću vam jedno važno otkriće jedne od njih, genijalne Eme Neter (Amalie Emmy Noether, 1882-1935), koja je zbog teoreme po njoj nazvane već vrsta ikone algebre i fizike, ali čiji će značaj tek rasti, nadam se zbog teorije informacije kojom se upravo bavim.

Ema je bila Nemica jevrejskog porekla odgajana da bude nastavnica engleskog i francuskog jezika u školama za devojke, ali je umesto toga otišla da studira matematiku na Univerzitetu Erlangen na kojem je radio i njen otac matematičar Maks Neter. Ženama je bilo dozvoljeno da budu na časovima, ali samo u prisustvu instruktora, a njeni instruktori danas su nadaleko poznati teoretičari David Hilbert, Feliks Klajn, Herman Minkovski i Karl Švarcšild. Doktorirala je 1907. godine na algebarskim invarijantama.

Način na koji je Ema tretirala te invarijante postao je predmet divljenja prvo Hilberta, Klajna i Ajnštajna, a zatim i mnogih drugih sposobnih da razumeju Neterovu matematiku, njoj svojstvenu „poeziju logičnih ideja“. Emin glavni rad iz 1915. godine, koji često nazivamo „najlepšom teoremom na svetu“, pokušaću objasniti popularno.

U vreme kada je fizika još uvek otkrivala zakon održanja energije – prema kojem je zbir kinetičke i potencijalne energije tela konstantan (energije kretanja i mirovanja, ostvarene i neostvarene) – Ojler i Lagranž bili su kilometrima ispred svojih savremenika. Oni su razmatrali razliku kinetičke i potencijalne energije koju danas nazivamo „lagranžijan“.

Pretpostavljali su da se ova razlika u spontanim situacijama vremenom ne menja i 1750. godine došli do parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda po njima nazvanih. Lagranž je otkriveni „princip najmanjeg dejstva“ briljantno tumačio i 1788. godine postavio osnove klasične mehanike.

Ojler-Lagranžove jednačine odnose se na bilo kakva kretanja, po toliko generalisanim koordinatama da one daju trajektorije od najmanje potrošnje vremena odbijene ili prelamane svetlosti između dve tačke, preko njihanja klatna, vibriranja opruge, pa do recimo putanja najmanje potrošnje energije u klasičnoj, relativističkoj, a konačno i u kvantnoj fizici. Generalisane trajektorije su „putevi“ evolucija fizičkih sistema nepromenjenog lagranžijana, koje nazivamo simetrijama ili invarijantama.

Kada stanete ispred ogledala i posmatrate svoj odraz, tada učestvujete u ravanskoj simetriji, refleksiji u odnosu na ravan ogledala. Svaki trougao sa svojom refleksijom ima jednake stranice, jednaku površinu, mada suprotnu orijentaciju. Refleksija je i osna simetrija u odnosu na osu, datu pravu ili centralna simetrija u odnosu na neku tačku.

U istu kategoriju „nepromenljivosti u okviru transformacije“ spadaju i translacije, paralelna pomeranja figura bez narušavanja rastojanja između unutrašnjih tačaka. Već u prvim razredima srednjih škola, gde se uče ove tzv. izometrije, mogli smo da naučimo da geometrija nema mnogo simetrija i da se svaka od njih može svesti na jednu ili dve rotacije.

Ema Neter je primetila da jedan od dva sabirka Ojler-Lagranžove jednačine predstavlja promenu lagranžijana (energije) po generalisanoj trajektoriji i da ta promena u slučaju simetrije isčezava, te da preostali, drugi sabirak koji predstavlja promenu količine odgovarajućeg fizičkog sistema vremenom – takođe iščezava. Odlučno je zaključila da prisustvo „nepromenljivosti“ znači neku simetriju, a to konzervaciju odgovarajuće fizičke veličine.

Dalje je valjda jasno zašto će se Neterovom teoremom oduševiti i Ajnštajn koji se svojevremeno mučio sa razumevanjem invarijantnih kretanja, inercijalnog jednoliko-pravolinijskog i tela u slobodnom padu u gravitacionom polju, smatrajući da u takvim svi zakoni fizike ostaju isti.  Neterova teorema garantuje i stabilnost gravitacionog polja.

U kvantnoj mehanici poznajemo Hajzenbergove relacije neodređenosti prema kojima proizvod neodređenosti energije i trajanja bilo kakvog realnog fizičkog procesa, odnosno čestice, ne može biti manji od poznate konstante (približno Plankove). Analogno važi za impuls i dužinu. To na način da za (skoro) svako unapred dato malo trajanje možemo uvek imati dovoljno veliku energiju i imati fizički realan sistem, a to je uslov diferencijabilnosti pomenutih jednačina. Simetrije kvantnog sveta pre svega su reverzibilnosti svih kvantnih procesa, koji se reflektuje oko (tekuće) sadašnjosti, pa to onda nekako važi i za makrosvet.

Ukratko, kada god imamo neku nepromenljivost imamo i odgovarajuću postojanost. Na primer, voda koja se okreće u čaši izgledaće nam stalno isto, a to je rotaciona simetrija – i imamo rotacioni zakon održanja (angularnog momenta). Zvrk jednom pokrenut nastaviće da se okreće sve dok ga neka sila (trenje) ne zaustavi. Telo u inercijalnom kretanju ne menja se i imamo dobro poznati zakon inercije pravolinijskog kretanja. U kvantnoj fizici, kao što rekoh, svi procesi (evolucije) opisuju se regularnim operatorima, reverzibilnim, što je vrsta simetrije, pa onda i za tokove informacije važi zakon održanja.

Iskoračimo na kraju malo ispred Neterove teoreme i primetimo da beskonačni skupovi ne mogu (količinom) biti jednaki svom pravom podskupu (delu), te da za takve ne važi načelo konzervacije (moja teorema). Drugim rečima, ako za dato fizičko svojstvo važi Neterova teorema, onda za to svojstvo važi konzervacija, a onda je ono i konačno deljivo, u matematici kažemo diskretno. Zato su svi oblici supstance atomizirani, kvantovani, kvarkovani, a fizičke informacije uvek su diskretne.

Slobode, količine opcija merene fizičkom informacijom, takođe su i diskretne i potrošive. Takve su i naše originalnosti, naša otkrića, pa prema tome i razvojnost društva. Kada bi smo zakonska organičenja merili analogno isto bi važilo za pravosudni sistem, a to je dosledno teoriji inofrmacije koju vam objašnjavam. Time stižemo na korak od teorije igara, takođe važnog dela „informatike“, ali o kojem ću pričati kasnije.

Dakle, ima žena u matematici i njihov doprinos nije sporadičan. One su se doduše ređe pojavljivale ali su znale jako obasjavati.

POSTAVI ODGOVOR

Unesite komentar
Unesite ime