RASTKO VUKOVIĆ: Postoji li broj koji ne postoji?

Intuicionizam je filozofija matematike zasnovana od holandskog matematičara Brovera (L. E. J. Brouwer, 1881-1966) na ideji da je matematika kreacija našeg uma. Matematičke istine se mogu shvatati samo mentalnim konstrukcijama koje dokazuju da su tačne, a komunikacija između matematičara je sredstvo za stvaranje istog mentalnog procesa u različitim umovima.

Za intuicionizam je zavisnost istine od vremena ključna. Ako u datim uslovima neko tvrđenje ne možemo dokazati i, u varijanti te filozofije, kada ga uopšte nije moguće dokazati, onda ono niti je tačno niti je netačno. Dosledno tome, intuicionisti razmatraju i realan broj koji niti je nula niti je različit od nule, na primer, jer postoje jednačine koje u datim uslovima nije moguće rešiti, ili su uopšte nerešive. Oni zato smatraju da ni metoda dokazivanja kontradikcijom (osnova geometrije) nije prihvatljiva.

Kada njihov rezon sažmemo u tvrđenje da „postoji realan broj x za koji nije tačna jednakost x = 0 i nije tačna negacija te jednakosti“ ili parafraziram „da postoji broj koji ne postoji“, onda moramo imati rezerve prema tom konceptu subjektivne matematike. Sa druge strane, sa stanovišta teorije informacije u kojoj su prostor, vreme i materija same informacije, dakle komunikacije i percepcije, onda filozofiju intuicionizma nećemo sasvim odbacivati. Ona je jedna redukcija prava matematike na istinu, reći ćemo.

Povoda za svađu pobornika klasične i intuicionističke matematike bilo je. Takav jedan bio je dokaz Bolcano-Vajerštrasove teoreme (1817) zbog svog izrazito nekonstruktivnog karaktera. Ukratko, ona kaže da svaki beskonačan i oganičen skup tačaka realne ose ima bar jednu tačku nagomilavanja. Naime, sve početne tačke staće u konačan interval, njega delimo na dva jednaka dela od kojih uzmemo polovinu sa beskonačno mnogo tačaka. Nju zatim ponovo delimo i opet uzimamo polovinu sa beskonačno tačaka. Nastavljajući proces podela sve kraćih intervala i uzimajući uvek onaj sa beskonačno mnogo tačaka, u beskonačnosti je sama tačka nagomilavanja.

Vidljivo je da ova teorema i njen dokaz ne daju metodu koja bi odredila tu ,,nedostižnu tačku“, nego govore samo o egzistenciji. Slično je sa ,,osnovnom teoremom algebre“ koja kaže da svaka polinomska jednačina ima rešenje, ali ne i koje. Tako je i sa postupcima iteracija u bezbroj koraka, pa sa izračunavanjima limesa, sa izračunavanjem integrala. Intuicionisti bi takve metode izbacivali iz matematike.

Veliki nemački matematičar Hilbert (David Hilbert, 1862-1943) rekao je tom prilikom ,,Nećemo biti proterani iz raja koji nam je Kantor stvorio“, misleći na briljantnu logiku beskonačnosti koje je otkrio osnivač teorije skupova (Georg Cantor 1845-1918). Neki matematičari, kao i većina fizičara, u taj ,,raj“ nisu ni ulazili – može se primetiti.
Pored ove subjektivna je i konstruktivna matematika. Ona zamenjuje frazu ,,postoji“ sa ,,možemo konstruisati“ i karakteriše je zahtev da dokaz mora biti algoritamski. Takođe prihvata tvrđenje da ,,postoji realan broj koji niti je jednak nuli niti je različit od nule“, jer ima jednačina za koje nema algoritma (sa konačno koraka) do rešenja. Takve su polinomske petog i većeg stepena. Oni će priznati rezultate dužeg postupka, za nestrpljive intuicioniste neprihvatljive, ali ne i beskonačne iteracije.

Sledeći je zanimljiv i neobičan primer dokaza prihvatljivog klasičnoj matematici, ali ne i konstruktivističkoj. Oznaka x^b znači stepenovanje prvog broja drugim, npr. 5^2 = 25, a ne saznavajući broj x dokazujemo da postoje iracionalni brojevi x i b takvi da je x^b racionalan.

Neka je b koren iz dva, tj. b^2 = 2. Lako je utvrditi da je b iracionalan, a teško je to za broj b^b, pa drugo pitanje zaobilazimo. Ako je b^b racionalan, onda stavimo da je x = b, a ako je iracionalan stavimo x = b^b. Prema tome, x^b je racionalan! Naime, u oba slučaja važi zaključak. Ako je b^b racionalan, onda je traženi x^b racionalan, jer je x = b. Ako je b^b iracionalan, onda je x^b = (b^b)^b = b^(b^2) = b^2 = 2, opet racionalan.
Subjektivne logike na jedan ili drugi način sužavaju teren matematike i ostaju bez dobrog objašnjenja za odbacivanje ,,viška“ istina.

Konzistentnost odbačenog ne ide im u prilog. Oni liče na fiziku uoči otkrića kvantne spregnutosti kada je negirano ,,fantomsko delovanje na daljinu“ pretpostavkom ,,skrivenih parametara“ kvantne mehanike. Decenijama je ignorisana Belova teorema (nesubjektivne logike) koja takve parametre osporava i dozvoljava sporne delove fizičke stvarnosti, da bi nakon eksperimenata ta filozofija izbegavanja ispala naivna, a ,,neprijatna“ teorema i njene fizičke realnosti prihvaćene.

Teorija fizičkog sveta čija je bit informacija a bit informacije neizvesnost i koja će uz to reći da je i najveće zamislivo mnoštvo informacija takođe neka informacija, ne da se zatvoriti i isključiti beskonačnost. Čak i ako utvrdimo da je svaka percepcija (nas, fizičkih pojava, čestica) konačna, da je svaka komunikacija koja nam se može desiti uvek u konačnim iznosima, opet ne odbacujemo svevremenske istine kao informacije i dejstva, osim što ih držimo za bezenergetske.

Naše percepcije univerzalnih istina njihovi su konačni isečci, ograničeni po vremenskom opsegu ili nekoj širini, pa onda i (nenulti) po energiji ili impulsu. Što veći deo beskonačne istine primetimo to je ona za nas suptilnija, manje je energična i manje impulsivna. Ovo se lepo uklapa u logiku informacija koje u višku inače postaju dezinformacije, ili konkretnije rečeno, u robu na tržištu čija veća količina prouzrokuje njenu manju cenu.

U teoriji informacija delom smo subjektivni a delom se odričemo shvatanja sebe kao centra i uzroka postojanja ovoga sveta, ili njegove glavne suštine, ali dozvoljavamo sebi razumevanje i onih stvarnosti koje su izvan neposrednog dometa naših čula. U tome je ona slična i različita od svih poznatih subjektivnih logika.

POSTAVI ODGOVOR

Unesite komentar
Unesite ime