RASTKO VUKOVIĆ: Stepeni, logaritmi i obzervable

zakon velikih brojeva

Slobodom nazivaš zbir proizvoda odgovarajućih „sposobnosti“ i „ograničenja“, a takođe i količinu opcija aludirajući na tehničku informaciju, količinu neizvesnosti – detalj je iz mog razgovora sa kolegom – ali kakva je veza između te dve definicije? Evo objašnjenja.  

Tehničku definiciju informacije otkrio je 1928. godine inženjer Hartli (Ralph Hartley, 1888-1970) radeći u Belovoj telefonskoj kompaniji. On je primetio da je logaritam broja jednako-verovatnih podataka bolja mera količine neizvesnosti od svake druge skale i posebno od neposrednog broja mogućnosti.

U bacanju novčića dva su ishoda, u bacanju kocke šest, a u bacanju oba 12, dakle ne zbir nego proizvod opcija, a logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama. Logaritam je jedina tako aditivna fukcija, pa je Hartlijeva definicija bila pun pogodak. Telefonska kompanija mogla je početi „brojati“ protok podataka jednako korektno kao vodovod vodu ili elektro-kompanija potrošnju struje.

Iz aditivnosti logaritama sledi da je logaritam jedinice nula, pa je tolika i informacija izvesnosti. Fer-novčić daje dva ravnopravna ishoda, svaki sa verovatnoćom polovinom da bi zbir obe dao jedinicu i izvesnost. Siguran događaj u bacanju fer-kocke je neka od šest mogućnosti, pa svaka ima verovatnoću šestinu.

U deset nekih jednakih mogućnosti svaka ima verovatnoću desetinu, broj recipročan broju deset, a proizvod deset i recipročnog od deset (šest i šestine, dva i polovine) jeste jedan, pa je logaritam desetine jednak minus logaritmu deset. Otuda, Hartlijeva informacija je minus logoratam verovatnoće. Promenom baze logaritma samo se menjaju jedinice mere informacije.

Inverzna funkcija logaritamskoj je eksponencijalna (iste baze). To znači da jedna drugu poništavaju tako da je logaritam eksponenta broja jednak datom broju. Prema tome, ako je dati broj pomenuti proizvod, sposobnosti i ograničenja, sabirak slobode, onda je njegov eksponent odgovarajući „broj opcija“ za Hartlijevu informaciju. Recipročna vrednost „broja opcija“ je neka srednja vrednost verovatnoće „opcija“, a njen negativan logaritam opet ista informacija.  U tome je stvar!

Pojedini proizvod odgovarajuće „sposobnosti“ i „ograničenja“ definiše komponentu (sabirak) „slobode“, njen eksponent definiše „broj opcija“, a logaritam tog broja opet je ista polazna „sloboda“. Međutim, u tome se da prepoznati i Hartlijeva informaciju. Sve postaje kristalno jasno kada se formule stave na papir, ali ponešto se razume i ovako.

Slavna Šenonova (Claude Shannon, 1916-2001) definicija informacije došla je dvadeset godina nakon Hartlijeve, od iste kompanije. Jednostavno rečeno, Šenon je posmatrao nejednako verovatne ishode, podelio ih na grupe jednako verovatnih i svakoj grupi dodelio Hartlijev logaritam, a zatim uzeo srednju vrednost logaritama po raspodeli verovatnoća. U tehnici ta srednja vrednosti je našla veliku primenu i prouzrokovala eksploziju razvoja kompjutera. Ali Šenonova informacija nije fizička, jer ne prati zakon održanja kao Hartlijeva.

Zato koristim poboljšanje Šenonove definicije koje podržava zakon održanja i koje nazivam „fizičkom informacijom“. Ona je za složeniji sistem veća od Šenonove, što se pokazuje saglasno principu minimalizma, pa onda i sa akumulacijom informacije, a konačno i sa definicijom „živog bića“.

Sa druge strane, uporedo sa razvojem klasične teorije informacije nastajala je i kvantna mehanika. Važno otkriće iz 1927. godine, koje upravo saznajemo da ih spaja, bile su Hajzenbergove relacije neodređenosti. U izvornom obliku one kažu da proizvodi neodređenosti merenja impulsa i položaja čestice, odnosno energije i vremena, nikada nisu manji od Plankove konstante.

Taj proizvod je dejstvo, ovde „sloboda“ ili Hartlijeva informacija, da bi recimo impuls čestice bila „sposobnost“, a prostor njeno „ograničenje“.  Držimo li se matematičke forme, jasno je da ćemo dalje dobijati jednako neprotivrečne stavove pomenute „slobode“, tj. fizičke informacije, kao što ih imaju fizička dejstva.

Da za fizičko dejstvo važi zakon održanja, sledi iz njegovog kvantovanja i konstantnosti. Pošto je dejstvo informacija, njegov eksponent je verovatnoća. Za razliku od upravo dodefinisane informacije, u kvantnoj mehanici je poznato da pomenuti eksponenti predstavljaju verovatnoće kvantnih stanja, a oba vektore u Hilbertovom prostoru, odnosno skupove čestica u fizici. Stvari se dalje komplikuju zato što komponente vektora kvantnih stanja ne idu uz realne nego uz kompleksne brojeve, ali to sada dobija smisao.

Samo odgovarajući izrazi ovih kompleksnih vektora kada su realni brojevi postaju fizički merljive veličine, tzv. obzervable, saglasno mojoj teoremi o diskretnosti (konačnoj deljivosti) svakog svojstva informacije. Pored toga, stepeni i logaritmi kompleksnih brojeva su periodične funkcije, što je u skladu sa mojim tvrđenjem da su sve informacije periodične pojave.

Nije novost da za koordinate kvantnih stanja biramo isključivo obzervable, fizičke veličine koje možemo meriti, da bi projekcije vektora na njih bile rezultati merenja iskazani verovatnoćama. One su komponente superpozicije, kako se nazivaju mogućnosti ishoda kvantnog merenja datog stanja, a sada samo dodajemo da verovatnoće merenja dolaze od informacija ili neizvesnosti koje imaju kvantna stanja. To su one „slobode“ sa početka ovog teksta, koje možemo nativati i „informacijom percepcije“.

Nesporazumi novih sa vekovnim starim tumačenja ovih termina dolaze iz njihove ranije svakodnevne upotrebe, iz nedoslednosti, često netačnog i kontradiktornog njihovog prethodnog razumevanja, a ne iz matematike koja stoji iza svega.  Ta ispravka značenja upravo je jedan aspekt napretka nauke.

 

POSTAVI ODGOVOR

Unesite komentar
Unesite ime