RASTKO VUKOVIĆ: Udarci Gausovog zvona

zakon velikih brojeva

Zakon velikih brojeva teorije verovatnoće deo je načela minimalizma informacije. Kada želimo više i dobijemo manje. Podsetimo se prvo osnovnog.

Italijanski matematičar Đirolamo Kardano (1501–1576) navodio je da se tačnost statističkih nalaza poboljšava sa brojem pokušaja. Ipak je Zakon velikih brojeva (ZVB) prvi dokazao švajcarski matematičar Jakob Bernuli (Ars Conjectandi, 1713) za binarne slučajne promenljive i proglasio ga „zlatnom teoremom“, kasnije nazivanom po njemu. Francuski matematičar Simeon Poison je to otkriće detaljno opisao u istoimenoj knjizi (La loi des grands nombres, 1837) nakon čega su usledila značajna istraživanja teme Čebiševa, Markova, Borela, Kantelija, Kolmogorova i Kinčina.

Kada bacamo fer novčić šanse da padne pismo odnosno glava tačno su pola-pola, ali to ne znači da će u svakih deset bacanja pasti tačno pet puta pismo i pet puta glava. Pored matematičkog očekivanja, srednje vrednosti, važna je i procena srednjeg odstupanja od očekivanog ishoda. Ovo rasipanje oko očekivane vrednosti uobičajeno merimo tzv. disperzijom. Očekivanje i disperzija definišu uglavnom sva nama zanimljiva svojstva raspodele verovatnoća slučajnog događaja, bar što se tiče matematike.

Zamislimo neki slučajni događaj, tzv. opit, poput bacanja (može i nefer) kocke. Svaki od ishoda ima neku svoju verovatnoću, realan broj od nule do jedan, tako da zbir jedan znači da će se sigurno nešto od svega desiti. Šanse pojedinog ishoda možemo izraziti i procentom njegove pojave u nekom dugom nizu ponavljanja opita ili koeficijentom, količnikom broja datog ishoda i svih ponavljanja opita. Zbir svih procenata je sto, a zbir svih količnika je jedan.

Zbir svih (realizovanih) ishoda tačno je jednak broju opita, kao i zbir njihovih matematičkih očekivanja. Zato za svaki od ishoda razlika broja realizacija i očekivanja podeljena ukupnim brojem opita teži nuli kada broj opita raste. Ove razlike, odstupanja od srednje vrednosti, ograničene su disperzijama, tako da kod sve većeg broja opcija zbirno rasipanje razlika raste sporije od ukupnog broja opita. Drugim rečima, kada broj opita raste zbir svih razlika podeljen brojem opita teži nuli.

To je ukratko skica „egzaktnog u nebulozama slučajnosti“ koja nas dovodi do zakona velikih brojeva u matematici zbog čega je taj zakon teorema. Pri tome se podrazumeva da su opiti nezavisni: nakon deset bacanja novčića i nakon što pismo padne u svih deset slučajeva opet je verovatnoća pisma u sledećem bacanju ista kao na početku. Sa druge strane, kada je pravilno shvaćen i upotrebljen ZVB omogućava dugoročne prognoze u poslovima osiguranja, u eliminaciji slučajnih sporednih faktora u medicini, u smanjenju grešaka ponavljanjem merenja.

Najpoznatija primena ZVB u okviru same teorije verovatnoće je svođenje pomenute Bernulijeve raspodele na Gausovo zvono. Prva je binomna raspodela koju dobijamo, na primer, bacajući novčić sto puta i brojeći padanja pisma. Verovatnije je da bude 40 pisama nego 30, ali svaki broj ishoda „pismo“, od sto do nule, ima neku šansu. Spisak verovatnoća tih brojeva predstavlja raspodelu. Nju možemo testirati ponavljanjem bacanja svih sto novčića odjednom ili ponavljanjima bacanja jednog novčića sto puta.

Zakon velikih brojeva tada kaže da se srednje vrednosti ishoda višestrukim ponavljanjem sto bacanja sve više grupišu oko (precizno definisanih) verovatnoća, govoreći čak i o koracima, stepenu tog približavanja. Kada duž horizontalne ose (apscise) postavimo oznake brojeva događaja, pisama u sto bacanja novčića, a njihove visine (ordinate) znače brojeve svih realizacija, dobićemo graf zvonastog oblika, Gausovu raspodelu verovatnoća.

Čudno, ali ne čudnije od činjenice nam je skoro nemoguće napamet izdiktirati niz „slučajnih“ brojeva koji bi prošao test slučajnosti. Testovi slučajnosti postoje i zasnivaju se na ZVB, prosto rečeno, na izračunatim očekivanjima i srednjim odstupanjima od očekivanja. Nije to lako kontrolisati napamet, pa nagađajući brojeve oko Gausovog zvona vrlo verovatno bar malo, ali statistički značajno, promašujemo oblik krivine njegovog grafa. Intuicija pada na tim testovima već kod pogađanja odnosa recimo 40 pisama u sto bacanja novčića prema 30 pisama od sto, a da ne govorim o iznosu odstupanja očekivanja u hiljadu ponavljanja po sto bacanja.

Naš problem sa testovima slučajnosti je taj što su oni stvar matematike, a intuicija je naivna za toliku preciznost. Zato testove slučajnosti koristimo za kontrolu prevara u igrama na sreću. Oni reaguju na skoro sve „mudre“ pokušaje imitiranja „prirodne slučajnosti“ zahvaljujući našem potcenjivanju zakona slučajnosti ili nemogućnosti da ga pobedimo. Sa svođenjem binomne raspodele u mnoštvu na zvonastu, oni su posledica opadanja neizvesnosti povećanjem obima opita, a ono opet deo je opšteg načela škrtarenja emisijama aktuelne informacije iz potencijalne.

Da sličnih tema ima još demonstriraću jednom kontradikcijom. Sakupljanjem raznih neizvesnosti radi povećanja mogućnosti ishoda neko stvorenje moglo bi hteti da ima sve potencijalne ishode. Želeći maksimalne slobode delovanja, upravo zbog zakona velikih brojeva, ono bi tada bilo maksimalno deterministički vođeno i potpuno neslobodno.

POSTAVI ODGOVOR

Unesite komentar
Unesite ime