РАСТКО ВУКОВИЋ: Ударци Гаусовог звона

0
183
zakon velikih brojeva

Закон великих бројева теорије вероватноће део је начела минимализма информације. Када желимо више и добијемо мање. Подсетимо се прво основног.

Италијански математичар Ђироламо Кардано (1501–1576) наводио је да се тачност статистичких налаза побољшава са бројем покушаја. Ипак је Закон великих бројева (ЗВБ) први доказао швајцарски математичар Јакоб Бернули (Ars Conjectandi, 1713) за бинарне случајне променљиве и прогласио га „златном теоремом“, касније називаном по њему. Француски математичар Симеон Поисон је то откриће детаљно описао у истоименој књизи (La loi des grands nombres, 1837) након чега су уследила значајна истраживања теме Чебишева, Маркова, Борела, Кантелија, Колмогорова и Кинчина.

Када бацамо фер новчић шансе да падне писмо односно глава тачно су пола-пола, али то не значи да ће у сваких десет бацања пасти тачно пет пута писмо и пет пута глава. Поред математичког очекивања, средње вредности, важна је и процена средњег одступања од очекиваног исхода. Ово расипање око очекиване вредности уобичајено меримо тзв. дисперзијом. Очекивање и дисперзија дефинишу углавном сва нама занимљива својства расподеле вероватноћа случајног догађаја, бар што се тиче математике.

Замислимо неки случајни догађај, тзв. опит, попут бацања (може и нефер) коцке. Сваки од исхода има неку своју вероватноћу, реалан број од нуле до један, тако да збир један значи да ће се сигурно нешто од свега десити. Шансе појединог исхода можемо изразити и процентом његове појаве у неком дугом низу понављања опита или коефицијентом, количником броја датог исхода и свих понављања опита. Збир свих процената је сто, а збир свих количника је један.

Збир свих (реализованих) исхода тачно је једнак броју опита, као и збир њихових математичких очекивања. Зато за сваки од исхода разлика броја реализација и очекивања подељена укупним бројем опита тежи нули када број опита расте. Ове разлике, одступања од средње вредности, ограничене су дисперзијама, тако да код све већег броја опција збирно расипање разлика расте спорије од укупног броја опита. Другим речима, када број опита расте збир свих разлика подељен бројем опита тежи нули.

То је укратко скица „егзактног у небулозама случајности“ која нас доводи до закона великих бројева у математици због чега је тај закон теорема. При томе се подразумева да су опити независни: након десет бацања новчића и након што писмо падне у свих десет случајева опет је вероватноћа писма у следећем бацању иста као на почетку. Са друге стране, када је правилно схваћен и употребљен ЗВБ омогућава дугорочне прогнозе у пословима осигурања, у елиминацији случајних споредних фактора у медицини, у смањењу грешака понављањем мерења.

Најпознатија примена ЗВБ у оквиру саме теорије вероватноће је свођење поменуте Бернулијеве расподеле на Гаусово звоно. Прва је биномна расподела коју добијамо, на пример, бацајући новчић сто пута и бројећи падања писма. Вероватније је да буде 40 писама него 30, али сваки број исхода „писмо“, од сто до нуле, има неку шансу. Списак вероватноћа тих бројева представља расподелу. Њу можемо тестирати понављањем бацања свих сто новчића одједном или понављањима бацања једног новчића сто пута.

Закон великих бројева тада каже да се средње вредности исхода вишеструким понављањем сто бацања све више групишу око (прецизно дефинисаних) вероватноћа, говорећи чак и о корацима, степену тог приближавања. Када дуж хоризонталне осе (апсцисе) поставимо ознаке бројева догађаја, писама у сто бацања новчића, а њихове висине (ординате) значе бројеве свих реализација, добићемо граф звонастог облика, Гаусову расподелу вероватноћа.

Чудно, али не чудније од чињенице нам је скоро немогуће напамет издиктирати низ „случајних“ бројева који би прошао тест случајности. Тестови случајности постоје и заснивају се на ЗВБ, просто речено, на израчунатим очекивањима и средњим одступањима од очекивања. Није то лако контролисати напамет, па нагађајући бројеве око Гаусовог звона врло вероватно бар мало, али статистички значајно, промашујемо облик кривине његовог графа. Интуиција пада на тим тестовима већ код погађања односа рецимо 40 писама у сто бацања новчића према 30 писама од сто, а да не говорим о износу одступања очекивања у хиљаду понављања по сто бацања.

Наш проблем са тестовима случајности је тај што су они ствар математике, а интуиција је наивна за толику прецизност. Зато тестове случајности користимо за контролу превара у играма на срећу. Они реагују на скоро све „мудре“ покушаје имитирања „природне случајности“ захваљујући нашем потцењивању закона случајности или немогућности да га победимо. Са свођењем биномне расподеле у мноштву на звонасту, они су последица опадања неизвесности повећањем обима опита, а оно опет део је општег начела шкртарења емисијама актуелне информације из потенцијалне.

Да сличних тема има још демонстрираћу једном контрадикцијом. Сакупљањем разних неизвесности ради повећања могућности исхода неко створење могло би хтети да има све потенцијалне исходе. Желећи максималне слободе деловања, управо због закона великих бројева, оно би тада било максимално детерминистички вођено и потпуно неслободно.

ПОСТАВИ ОДГОВОР

Унесите коментар
Унесите име